通信电子电路课程报告
课题：占空比不一样的开关函数对输出信号的幅度造成的变化
日期：2025年12月7日
1. 引言
在通信电路中，非线性器件（如二极管、晶体管）常被用于混频、倍频和调幅等电路。当输入信号幅度足够大时，这些器件可以近似看作受信号控制的“开关”。根据课程资料（第5章 5.6节），大信号工作状态下的分析通常引入开关函数 $K(t)$。
标准的开关函数通常假设导通角为 $\theta = 90^\circ$（即占空比为 50%）。然而，在实际应用如丙类（Class C）功率放大器或倍频器中，导通角往往小于 $90^\circ$。本报告旨在探究开关函数的占空比（或导通角）变化如何影响输出信号中各次谐波分量的幅度。
2. 理论模型建立
2.1 开关函数的定义
设开关周期为 $T = 2\pi/\omega_c$，导通时间为 $\tau$。我们定义半导通角 $\theta = \omega_c \cdot (\tau/2)$。占空比 $D$ 与导通角的关系为：
周期性开关函数 $K(t)$ 可以表示为：
2.2 傅里叶级数展开
将周期性矩形脉冲 $K(t)$ 展开为傅里叶级数：
根据傅里叶系数计算公式：
- 直流分量 $A_0$： $$ A_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\theta}^{\theta} 1 \, d(\omega t) = \frac{2\theta}{2\pi} = \frac{\theta}{\pi} $$
- $n$ 次谐波幅度 $A_n$： $$ A_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\theta}^{\theta} 1 \cdot \cos(n\omega t) \, d(\omega t) = \frac{2}{\pi} \frac{\sin(n\theta)}{n} $$
这就是著名的余弦脉冲分解系数公式（通常记作 $\alpha_n(\theta)$ 或 $g_n(\theta)$）。
3. 占空比对幅度的影响分析
我们重点关注直流分量 $A_0$、基波分量 $A_1$ 以及二次谐波分量 $A_2$ 随导通角 $\theta$ 的变化。
3.1 关键点分析
- 基波分量 $A_1$：
公式：$A_1(\theta) = \frac{2}{\pi}\sin(\theta)$。
当 $\theta = 90^\circ$（即占空比 50%）时，$\sin(90^\circ)=1$，基波幅度达到最大值 $2/\pi \approx 0.637$。这就是为什么在要求输出功率最大的甲乙类放大器中，导通角通常选在 $90^\circ$ 附近。
- 二次谐波分量 $A_2$：
公式：$A_2(\theta) = \frac{1}{\pi}\sin(2\theta)$。
当 $\theta = 90^\circ$ 时，$\sin(180^\circ)=0$，二次谐波为 0。这解释了为什么推挽电路（合成导通角等效为对称方波）可以有效抑制偶次谐波。
当 $\theta = 45^\circ$ 或 $135^\circ$ 时，二次谐波幅度最大。这对于设计二倍频器非常有指导意义。
- 直流分量 $A_0$：
随 $\theta$ 线性增加。在检波电路中，我们希望 $A_0$ 尽可能大，因此检波二极管通常工作在大导通角状态。
4. 实际应用场景探讨
4.1 丙类功率放大器 (Class C PA)
目标： 高效率。
策略： 减小导通角 $\theta$（通常 $\theta < 90^\circ$，如 $60^\circ \sim 75^\circ$）。
原理： 虽然减小 $\theta$ 会导致基波幅度 $A_1$ 略微下降（如图1红色曲线所示），但直流分量 $A_0$（代表电源供给的平均电流）下降得更快。因此，效率 $\eta = P_{out}/P_{DC} \propto A_1^2 / A_0$ 会显著提升。
4.2 倍频器 (Frequency Multiplier)
目标： 获得最大的 $n$ 次谐波输出。
策略： 调整偏置电压，改变导通角 $\theta$。
最佳导通角： 根据公式 $A_n \propto \frac{\sin(n\theta)}{n}$，要使 $A_n$ 最大，需满足 $\sin(n\theta) = 1$（近似），即 $n\theta \approx 90^\circ$。
- 二倍频 ($n=2$)：最佳 $\theta \approx 45^\circ$。
- 三倍频 ($n=3$)：最佳 $\theta \approx 30^\circ$。
5. 学习思考与总结
为什么开关函数近似在通信电路中如此重要？
在小信号分析中，我们关注晶体管的跨导 $g_m$ 的线性部分。但在大信号（如调幅发射机的末级）下，晶体管工作在非线性极强的区域。此时，精确的指数模型计算极其复杂。引入“开关函数”将晶体管简化为“通/断”状态，将复杂的非线性问题转化为简单的时域乘法（信号 $\times$ 开关序列），进而转化为频域卷积（频谱搬移），极大地简化了工程分析。
6. 总结
通过本次课题研究，我们得出以下结论：
- 开关函数的占空比（导通角）直接决定了输出信号的频谱结构。
- $\theta = 90^\circ$ (50% 占空比) 是基波输出最大的点，也是偶次谐波消失的点，适合功率放大。
- $\theta < 90^\circ$ 虽然牺牲了部分输出幅度，但能显著提高效率（丙类功放）或增强高次谐波（倍频器）。
- 在设计通信电路时，通过调整静态偏置电压来控制导通角，是优化电路性能（效率 vs 功率 vs 谐波）的关键手段。